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Entier naturel

En mathématiques, les nombres naturels (aussi appelés entiers naturels) sont des nombres entiers et positifs, 0, 1, 2, 3, 4, 5... 12, 512, $2 \times 10^3$ ...

Il s'agit donc de ceux qui permettent de compter les objets quand ils sont en quantité discrète ; par exemple, les doigts, les feuilles d'un arbre. Ils ne permettent pas de mesurer des quantités continues comme une longueur, un volume ou une masse.

Certains mathématiciens ne comptent pas zéro comme un entier naturel.

Bien que cette notion paraisse intuitive, leur définition formelle en mathématiques n'a pas été simple à concrétiser. Les axiomes de Peano définissent l'ensemble des entiers naturels, noté N ou $\mathbb{N}$ . On note $\mathbb{N}^*$ l'ensemble des entiers naturels privé de l'élément zéro.

Sommaire

1 Les entiers naturels, une abstraction des objets réels

Les entiers naturels, une abstraction des objets réels

Au départ sont les objets, les animaux. On a des fruits, un troupeau... Ces objets n'ont rien à voir entre eux, mais ils ont pourtant une caractéristique commune : dans un panier, les tomates sont distinctes et à peu près identiques, dans un troupeau, les vaches sont elles aussi distinctes et à peu près identiques.

On a donc inventé des objets qui n'existent que dans l'esprit et qui ont la propriété suivante : ils sont distincts et interchangeables. Ce sont des objets sans aucun support matériel, de purs concepts. On écrira donc « un (1) », « deux (2) », « trois (3) »... Trois quoi ? Trois de ces objets inventés et sans support matériel, trois « unités ». On écrira V le nombre de vaches et T le nombre de tomates par exemple, ces deux variables sont manipulables mathématiquement, indépendamment des objets qu'elles représentent.

On a donc extrait une propriété qui nous intéressait (la « dénombrabilité »), et on a fabriqué un objet imaginaire qui n'avait que cette propriété ; cet objet est l'« unité ».

Ce processus mental est connu sous le nom d'abstraction, on fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser uniquement à la quantité.

Emploi

Les nombres naturels permettent de compter les éléments d'un ensemble fini.

Propriété

(à faire)

Addition

Une addition consiste à ajouter un entier à un autre entier. Le résultat est appelé la somme.

0 est neutre pour l'addition. Le résultat de la somme d'un nombre quelconque et de zéro donne ce même nombre.

a+0=a

5+0=5

13+0=13

4+0=4

L'addition est commutative. L'ordre des termes de l'addition de deux termes ne change pas le résultat.

a+b=b+a

5+3=3+5

8+4=4+8

17+2=2+17

Multiplication

Le résultat d'une multiplication est appelé le produit.

1 est neutre pour la multiplication. Le résultat du produit d'un nombre quelconque par 1 donne ce même nombre.

a × 1 = a

5 × 1 = 5

13 × 1 = 13

4 × 1 = 4

La multiplication est commutative. L'ordre des termes de la multiplication de deux termes ne change pas le résultat.

a × b = b × a

5 × 3 = 3 × 5

8 × 4 = 4 × 8

17 × 2 = 2 × 17

Il y a plusieurs manières de définir la multiplication. Elle peut par exemple, être définie par récurrence comme itération de l'addition en posant :

0×n=0

m×(n+1)=m×n+m

Voir aussi

$\emptyset$ $\subset$ $\mathbb N$ $\subset$ $\mathbb Z$ $\subset$ $\mathbb D$ $\subset$ $\mathbb Q$ $\subset$ $\mathbb R$ $\subset$ $\mathbb C$ $\subset$ $\mathbb H$ $\subset$ $\mathbb O$ $\subset$ $\mathbb S$

Catégories: Nombre

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